Revisão de Matemática para o Enem: Produtos Notáveis

Quando estudamos matemática, podemos observar que algumas questões têm diferentes formas de serem resolvidas, algumas mais simples, outras mais complexas. Os produtos notáveis facilitam a resolução de questões de diferentes temas, seja de uma equação simples do segundo grau até equações geradas por problemas de geometria.

Mas o que são produtos notáveis? São aqueles produtos, ou seja, resultados de multiplicações, que são importantes na matemática por possuírem uma forma geral de resolução.

O primeiro caso de produto notável refere-se à soma de dois termos elevada ao quadrado, como por exemplo (a + b)². Para efetuar este produto, devemos simplifica-lo em (a + b)∙(a + b) e multiplicar os elementos, como mostrado a seguir:

a ∙ a + a ∙ b + b ∙ a+ b∙ b

o qual resultaria em

a² + 2∙a∙b + b²

Essa é portanto, a forma geral de resolver um produto deste tipo. Vamos a um exemplo com números.

(a + 3)²

Pela forma convencional, faríamos

a ∙ a + a ∙ 3 + 3 ∙ a + 3 ∙ 3

o que resultaria em

a² + 3∙a + 3∙a + 9 = a² + 6ª + 9

Utilizando o método simplificado, podemos resolver de forma muito mais rápida

Se (a + b)² = a² + 2∙a∙b + b²

Então (a + 3)² = a² + 2∙a∙3 + 3² = a² + 6∙a∙b + 9

Podemos observar também um exemplo de utilização na geometria abaixo. Se o quadrado menor tem 5 cm de lado e o quadrado maior tem uma área de 49 cm², qual é o valor de x?

Se o quadrado menor tem uma aresta de 5 cm, o maior tem x + 5 e sua área é, portanto, (x + 5)²

Como o enunciado diz que a área é de 49 cm², temos

(x + 5)² = 49

Então, utilizando a equação que vimos, temos

x² + 10∙x +25 = 49
x² + 10x – 24 = 0

Agora, aplicando a fórmula de Bhaskara, encontramos x = 2 ou x = -7. Como o valor de x não pode ser negativo, x = 2. Neste caso, podem existir formas mais fáceis de resolver o problema, mas em outros casos, os produtos notáveis podem ser essenciais para sua resolução.

O segundo produto notável é semelhante ao anterior, mas ao invés do produto da soma, temos o produto da diferença entre dois termos.

(a – b)² = (a – b) ∙ (a – b)
a ∙ a – a ∙ b – b ∙ a + b ∙ b
a² – 2∙a∙b + b²

Esta é, portanto, a forma simplificada do produto. Podemos observar um exemplo abaixo, semelhante ao anterior

(a – 3)² = (a – 3) ∙ (a – 3)
a ∙ a – a ∙ 3 – 3 ∙ a + 3 ∙ 3
a² – 2∙a∙3 + 3²
a² – 6∙a + 9

Utilizando somente a forma simplificada, temos uma resolução mais rápida, como mostrado a seguir

(a – 3)² = a² – 2∙a∙3 + 3² = a² – 6a + 9

Um outro produto notável refere-se ao produto da soma pela diferença de dois termos, ou seja, (a + b) ∙ (a – b)

(a + b) ∙ (a – b) = a² – b²

Para resolver a equação (a + 3) ∙ (a – 3) de forma rápida, portanto, basta simplificar da seguinte forma

(a + 3) ∙ (a – 3) = a² – 3² = a² – 9

Deste modo, assim como na forma simplificada dos produtos anteriores, não é necessário fazer a multiplicação termo a termo.

Além da soma e subtração elevados ao quadrado, podemos elevá-los também ao cubo, o que resulta nas seguintes equações

(a + b)³ = a³ + 3∙a²∙b + 3∙a∙b² + b³

Como (a + b)³ é igual a (a + b)∙(a + b)∙(a + b), a multiplicação termo a termo seria muito mais extensa, o que prova que compreender essa simplificação é muito útil na resolução de questões em vestibulares em que o tempo não pode ser desperdiçado. Vamos a mais um exemplo, agora para o produto (a + 3)³:

Pelo modo tradicional, esse produto seria resolvido da seguinte forma

(a + 3)³ = (a + 3) ∙(a + 3) ∙ (a + 3)
(a∙a + a∙3 + 3∙a + 3∙3) ∙ (a + 3)
(a² + 6∙a + 9) ∙ (a + 3)
a²∙a + a²∙3 + 6∙a∙a + 6∙a∙3 + 9∙a + 9∙3
a³ + 3a² + 6a² + 18a + 9a+ 27
a³ + 9a² + 27a + 27

Pelo método simplificado, podemos fazer apenas

(a + 3)³ = a³ + 3∙a²∙3 + 3∙a∙3² + 3³
a³ + 9a² + 27ª + 27

O resultado, portanto, é o mesmo. Da mesma forma, temos a subtração:

(a – b)³ = a³ – 3∙a²∙b + 3∙a∙b² – b³

Vamos ao exemplo, com o produto (a – 3)³. Da mesma forma que o anterior, o método tradicional resulta em uma resolução extensa, com vários passos, como é possível observar abaixo:

(a – 3)³ = (a – 3) ∙ (a – 3) ∙ (a – 3)
(a∙a – a∙3 – 3∙a + 3∙3) ∙ (a – 3)
(a² – 6∙a + 9) ∙ (a – 3)
a²∙a – a²∙3 – 6∙a∙a + 6∙a∙3 + 9∙a – 9∙3
a³ – 3a² – 6a² + 18a + 9ª- 27
a³ – 9a² + 27a – 27

Utilizando o método simplificado, temos

(a – 3)³ = a³ – 3∙a²∙3 + 3∙a∙3² – 3³
a³ – 9a² + 27a – 27

Novamente economizamos tempo e chegamos a um mesmo resultado. É possível notar também que, tanto no caso da soma e subtração elevados ao quadrado, quanto ao cubo, os valores não mudam, o que muda são os sinais, o que facilita ainda mais na hora de lembrar da equação.

Em resumo, temos cinco produtos notáveis importantes e mais fáceis de aprender, os quais são mostrados abaixo

• (a + b)² = a² + 2∙a∙b + b²
• (a – b)² = a² – 2∙a∙b + b²
• (a + b) ∙ (a – b) = a² – b²
• (a + b)³ = a³ + 3∙a²∙b + 3∙a∙b² + b³
• (a – b)³ = a³ – 3∙a²∙b + 3∙a∙b² – b³

Podemos então, utilizar estes produtos notáveis para resolver questões de matemática de diferentes temas e economizar um tempo que pode ser dedicado a questões de outras disciplinas ou mesmo às de matemática mais extensas.